信号处理视角下的压缩感知MRI研究进展

郑大世Chul你们<年代vg width="16" height="16" focusable="false" role="img" aria-hidden="true" class="u-icon"> ¹

BMC生物医学工程体积1文章编号:<年代p一个nd一个t一个-test="article-number">8（<年代p一个nd一个t一个-test="article-publication-year">2019)<一个href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#citeas" class="c-article-info-details__cite-as u-hide-print" data-track="click" data-track-action="cite this article" data-track-label="link">引用这篇文章

20 k<年代p一个ncl一个年代年代＝"c-article-metrics-bar__label">访问
46<年代p一个ncl一个年代年代＝"c-article-metrics-bar__label">引用
3.<年代p一个ncl一个年代年代＝"c-article-metrics-bar__label">Altmetric
指标<年代p一个ncl一个年代年代＝"u-visually-hidden">细节

摘要

磁共振成像(MRI)是一种固有的慢成像方式，因为它通过一维自由感应衰减或回波信号获取多维k空间数据。这通常限制了MRI的使用，特别是高分辨率或动态成像。因此，许多研究者开发了各种加速技术来实现快速MR成像。在过去的20年里，这个方向上最重要的突破之一是压缩感知(CS)的引入，它允许从稀疏采样的k空间数据进行精确重建。最近FDA批准了用于临床扫描的压缩感知产品，这清楚地反映了该技术的成熟。因此，本文综述了CS的基本思想以及该技术是如何在各种磁共振成像问题中发展起来的。

背景

磁共振成像(MRI)利用核磁共振(NMR)现象实现高对比度成像。自1938年首次观察到分子束中的核磁共振吸收以来，主要的研究方向是理解和利用核磁共振现象在光谱学中的应用。然后，劳特伯尔在1973年引入了梯度场来编码从物体核发射的无线电波的空间起源。这一突破使得核磁共振物理的多维成像成为可能。

Lauterbur的思想可以通过k空间解释很容易理解，k空间解释将MR采样描述为二维或三维空间中的傅里叶编码。具体来说，MRI扫描仪收集的数据是物体图像的空间傅里叶变换的样本。因此，为了获得无混叠伪影的图像，k空间样本需要满足Nyquist采样准则。

尽管与信号采样理论有着密切的联系，但在普鲁士曼首次论证灵敏度编码(SENSE)技术之前[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 1" title="1" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e427">1]，磁共振成像并不被认为是信号处理的重要研究课题。具体来说，普鲁士曼等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 1" title="1" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e430">1]表明来自线圈灵敏度图的空间分集信息具有额外的信息，可用于快速信号采集。此外，Sodickson等人。<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 2" title="2" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e433">2]提出了空间谐波同步采集(SMASH)。这些工作催生了并行成像和迭代重建方法，并产生了一系列新颖的思想和算法，包括Griswold的广义自动校准部分并行获取(GRAPPA) [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 3" title="3." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e436">3.和k-t空间方法用于心脏成像，如[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="4" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR4" id="ref-link-section-d33194640e439">4，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="5" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR5" id="ref-link-section-d33194640e439_1">5，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="6" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR6" id="ref-link-section-d33194640e439_2">6，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="7" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR7" id="ref-link-section-d33194640e439_3">7，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="8" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR8" id="ref-link-section-d33194640e439_4">8，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 9" title="9" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e443">9］．

这些方法的共同主题是，可以利用数据冗余来降低所需的采样率。由于冗余数据在某些变换域中可以被紧凑地表示，这也与“稀疏性”的概念密切相关。最初由布雷斯勒和他的学生研究动态傅里叶成像[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 10" title="10" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e449">10，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 11" title="11" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e452">11]，由于压缩感知理论的引入，稀疏正则化已成为现代加速MRI研究的主要主力[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 12" title="12" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e455">12，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 13" title="13" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e458">13］．自从Lustig等人首次展示压缩感知MRI以来[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 14" title="14" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e461">14，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 15" title="15" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e465">15，压缩感知MRI已成为现代MR成像研究的必备工具。在本文中，我们将更详细地回顾这些想法。

主要内容

先生提出模型

在介绍压缩感知磁流变的概念之前，我们首先讨论磁流变的正演模型。在数学上，k空间测量的正演模型可以用。

$ $ {b} ^我\离开(\ mathbf {k} \右)= \ int{\伽马}^我(r) {e} ^ {j2 \π{k} ^ Tr},博士\ kern1em i = 1, \点,C, $ $

(1)

在哪里r∈R ^ d和k∈R<年代up>d， d = 2,3分别表示像域和k-空间坐标，C为线圈个数和第i个线圈图像γ<年代up>我是由

$ $ {\ upgamma} ^我\离开(\ mathbf {r} \右)= \ upnu \离开(\ mathbf {r} \右){年代}^我\离开(\ mathbf {r} \右)$ $

（2）

在这里,ν(r为对比加权体磁化分布<我>年代^我（r)为第i个线圈对应的线圈灵敏度。虽然这个表达式可能给人一种测量是二维或三维的印象，但这确实起源于一维测量，因为k-空间轨迹是时间的函数，即。k: =k（<我>t)，并且我们在每个时间点t处获取一个k空间样本。这使得MR成像固有地缓慢，因为我们需要通过1-D轨迹扫描3-D物体。

动态MRI是监测脑血流动力学和心脏运动等动态过程的另一种重要磁共振技术。在各种动态MR建模形式中，我们主要关注k-t公式。具体地说，为了简单起见，考虑笛卡尔轨迹的离散成像方程。由于沿读出方向的样本是全采样的，因此大多数动态MR公式在沿读出方向进行傅里叶变换后分别应用。更具体地说，让γ<我>(s, t)表示实例t时刻沿相位编码线的空间坐标s上的未知图像内容(如质子密度、T1/T2加权图像等)，则为k-t空间测量<我>b (k, t)在t时刻由

左(k, t $ $ b \ \右)= \ int \伽马\离开(s t \右){e} ^ {j2 \πks} ds $ $

（3）

在γ<我>(s, t)是在平行成像情况下，可以通过线圈灵敏度映射进行加权的时空图像。

在本文中，为了简单起见，我们经常使用(1)的运算符表示法:

$ $ {b} ^我= F \ [{\ mathrm{年代}}^我\]\ upnu \ kern1em i = 1, \ cdots \ mathrm C {}, $ $

在[S<年代up>我是由第i个线圈灵敏度组成的对角算子。类似地，我们对(3)使用运算符符号。

$ $ b = F \ upgamma $ $

（4）

或

$ $ {b} = F{\伽马}^ ^我,\ kern1em \ mathrm{我}= 1,\ cdots \ mathrm {C} $ $

（5）

对于平行成像的情况。

压缩传感理论

性能保证

压缩感知(CS)理论[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 12" title="12" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e993">12，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 16" title="16" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e996">16，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 17" title="17" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e999">17]解决了从欠定线性测量中精确恢复未知稀疏信号的问题，并已成为近20年来信号处理领域的主要研究课题之一[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR18" id="ref-link-section-d33194640e1002">18，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="19" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR19" id="ref-link-section-d33194640e1002_1">19，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR20" id="ref-link-section-d33194640e1002_2">20.，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="21" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR21" id="ref-link-section-d33194640e1002_3">21，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="22" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR22" id="ref-link-section-d33194640e1002_4">22，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 23" title="23" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1005">23］．大多数压缩感知理论的发展都是为了解决所谓的单测量矢量(SMV)问题[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 12" title="12" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1009">12，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 16" title="16" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1012">16，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 17" title="17" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1015">17］．更具体地说，设m和n为正整数，使m < n，则SMV压缩感知问题由

$$ (P0):{\displaystyle \begin{array}{c}\operatorname{maximize}\ {\left\Vert \mathrm{x}\right\Vert}_0\\ {{}\mathrm{subject}\ \mathrm{to}\ \left\Vert \mathrm{y}-\mathrm{Ax}\right\Vert <\upepsilon， \end{array}} $$

(6）

在y<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈R ^ m, A<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈R ^<我>米\×<我>n, x<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈R^n， ε表示噪声水平。(P0)表示解倾向于最稀疏解。

由于(P0)需要计算上昂贵的组合优化，贪心方法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 24" title="24" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1119">24，重加权范数算法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 25" title="25" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1122">25，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 26" title="26" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1125">26或使用l<年代ub>1规范(<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 12" title="12" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1130">12，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 27" title="27" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1134">27已经被广泛研究作为替代品。特别地，凸松弛方法处理以下l<年代ub>1最小化问题:

$$ (P1):{\displaystyle \begin{array}{c}\operatorname{最小化}\ {\left\Vert \mathrm{x}\right\Vert}_1\\ {}\mathrm{subject}\ \mathrm{to}\ \left\Vert \mathrm{y}-\mathrm{Ax}\right\Vert <\upepsilon， \end{array}} $$

(7）

CS的一个重要理论工具是所谓的受限等距特性(RIP)，它使我们能够保证某些输入信号的鲁棒恢复[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 17" title="17" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1232">17］．更具体地说，是一个感知矩阵<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">在{\ (\ mathrm {} \ \ mathrm {R}} ^ {m \ * \ mathrm {n}} \)如果存在常数0≤δ<年代ub>k< 1

$$ \左(1-{\updelta}_k\右)\左\Vert \mathrm{x}\右\Vert 2\le \左\左\Vert \mathrm{Ax}\右\Vert 2\le \左(1+{\updelta}_k\右)\左\Vert \mathrm{x}\右\Vert 2。$ $

对于所有x<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈x R ^ n与| | | |<年代ub>0已证明δ<年代ub>2<我>k<<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">1 \ \ \√{2})对于l是充分的<年代ub>1/ l<年代ub>0等价(<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 12" title="12" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1340">12］．对于多类随机矩阵，如果抽样模式是非相干的，且测量数满足m≥，则RIP条件满足高概率<我>ck日志(<我>n / k)为某个常数c > 0 [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 17" title="17" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1349">17］．

优化的方法

在实践中，经常使用以下无约束形式的优化问题:

$ $ \暗流{x}{\分钟}\压裂{1}{2}{\左\绿色\ mathrm {y} - \ mathrm {Ax} \右\绿色}^ 2 + \ uplambda{\左\绿色\ Psi \ mathrm {x} \右\绿色}_1 $ $

（8）

其中y是噪声测量，λ是正则化参数，Ψ是使Ψx变得稀疏的分析变换。注意，对于Ψ = I的特殊情况，(8)简化为(<我>P1）.

解决(的技术问题之一)<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="equation anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">8)是代价函数在Ψx = 0处并不光滑，这使得相应的梯度定义不清楚。这导致了各种技术的发展，这些技术被称为新型凸优化理论<我>近端优化［<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 28" title="28" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1445">28］．例如，流行的运算时间化方法，如前向后分裂(FBS) [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 29" title="29" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1448">29，分裂Bregman迭代[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 30" title="30." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1451">30.，交替方向乘法器法(ADMM) [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 31" title="31" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1455">31， Douglas- Rachford分裂算法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 32" title="32" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1458">32和原对偶算法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 33" title="33" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1461">33已经开发出来解决压缩感知问题。然而，这些技术的全面覆盖值得另一篇综述论文，因此在本节中，我们主要回顾自压缩感知MRI首次引入以来被广泛用于压缩感知MRI的ADMM算法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 34" title="34" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e1464">34］．

更具体地说，我们将问题(8)转化为以下约束问题:

$ $ \暗流{\γ,\ mathrm{你}}{\分钟}\ \压裂{1}{2}{\左右\绿色y - \伽马\ \绿色}^ 2 + \ uplambda{\左右\绿色u \ \绿色}_1 $ $

（9)

受

$$ \mathrm{u}=\Psi \upgamma。$ $

（10）

然后，关联的ADMM由

$ ${\伽马}^{\离开(k + 1 \右)}= \ mathit {arg \} \ \暗流{x}{\分钟}\ \压裂{1}{2}{\左右\绿色y - \伽马\ \绿色}^ 2 + \压裂{\ upmu}{2}{\左\绿色{\ upzeta} ^ {(k)} + \ Psi \ upgamma - {\ mathrm{你}}^ {(k)} \右\绿色}$ $ ^ 2

$ ${你}^{\离开(k + 1 \右)}= \ mathit {arg \} \ \暗流{你}{\分钟}\ kern0.50em \ uplambda{\左右\绿色u \ \绿色}_1 + \压裂{\ upmu}{2}{\左\绿色{\ upzeta} ^ {(k)} + \ Psi {\ upgamma} ^{\离开(k + 1 \右)}- \ mathrm{你}\右\绿色}$ $ ^ 2

$ $ {\ upzeta} ^{\离开(k + 1 \右)}= {\ upzeta} ^ {(k)} + {x} ^{\离开(k + 1 \右)},{你}^{\离开(k + 1 \右)},$ $

现在，ADMM的每一步都有一个封闭的解决方案。算法1总结了得到的ADMM迭代结果，其中收缩<年代ub>1表示soft-tresholding:

$ ${收缩}_1 \离开(\ mathrm {x} \ uptau \右)= \ operatorname{胡志明市}\离开(\ mathrm {x} \) \ \马克斯\左\ {0 | \ mathrm {x} |——\ uptau \ \ \}, $ $

（11）

对于阈值τ > 0。

除了前面的分析(<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="equation anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">8)，总变差(TV)惩罚也被广泛应用于成像应用，因为有限差分算子

可以稀疏平滑的图像。具体来说，电视最小化问题具有以下形式:

$ $ \暗流{x}{\分钟}\压裂{1}{2}{\左右\绿色y - Ax \ \绿色}^ 2 + \ uplambda \ mathrm{电视}\离开(\ mathrm {x} \右),$ $

（12）

其中V (x)是由

$ $ \ mathrm{电视}\离开(\ mathrm {x} \右)={\左右\绿色\微分算符x \ \绿色}_ {1,},$ $

（13）

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">‖∙<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">‖_1，<我>p，<我>p= 1,2表示l<年代ub>1/ l<年代ub>p混合常态。在d维空间中(如图像为d = 2)，离散化实现可定义为

$ ${\左右\绿色\微分算符x \ \绿色}_ {1,p} ={\总和}_ {i = 1} ^ n{\左\绿色\微分算符x (i) \ \绿色}_p $ $

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∇x(我)<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈R<年代up>d表示x在第i个坐标处的梯度，n表示离散样本的个数。

为了将ADMM应用于(12)，我们需要关注总变异惩罚的原始公式:

电视(x) = $ ${\左右\绿色\微分算符x \ \绿色}_ {1,p} ={\总和}_ {i = 1} ^ n{\左\绿色\微分算符x (i) \ \绿色}_p $ $

(14）

现在，我们定义一个分裂变量u(i) =<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∇x(我)<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈R<年代up>d．然后，给出了约束优化公式

$ $ \暗流{x,{\左\ {u(我)\ \}}_ {i = 1} ^ n}{\分钟}\压裂{1}{2}{\左右\绿色y - Ax \ \绿色}^ 2 + \ uplambda{\总和}_ {i = 1} ^ n{\左右\绿色u (i) \ \绿色}_p $ $

(15）

$ $ \ mathrm{主题}\ \ mathrm{到}\ \ mathrm{你}\离开(\ mathrm{我}\右)= \微分算符x(我),我= 1,\ cdots n $ $

（16）

然后，关联的ADMM由

$ $ {x} ^{\离开(k + 1 \右)}= \ mathit {arg \} \ \暗流{x}{\分钟}\ \压裂{1}{2}{\左左| | \ y - Ax \右| \ |}^ 2 + \压裂{\ upeta}{2}{\总和}_i{\左\绿色{\ upzeta} ^ {(k)}(我)+ \微分算符x (i) - {\ mathrm{你}}^ {(k)}(我)\ \ \绿色}$ $ ^ 2

$ ${你}^{\离开(k + 1 \右)}(i) = \ mathit {arg \} \ \暗流{u (i)}{\分钟}\ kern0.50em \ uplambda{\左右\绿色u (i) \ \绿色}_p + \压裂{\ upeta}{2}{\左\绿色{\ upzeta} ^ {(k)}(我)+ \微分算符{x} ^{\离开(k + 1 \右)}(i) - \ mathrm{你}\离开(\ mathrm{我}\)\ \右\绿色}$ $ ^ 2

$ $ {\ upzeta} ^{\离开(k + 1 \右)}(i) = {\ upzeta} ^ {(k)}(我)+ \微分算符{x} ^{\离开(k + 1 \右)}(i) -{你}^{左(k + 1 \右)}\ \离开(\ mathrm{我}\右)$ $

每一步都有封闭形式的表达式。算法2总结了TV-ADMM算法，其中收缩<年代ub>矢量,2x (x)<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈R<我>d表示矢量收缩[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 34" title="34" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e2925">34]:

$ ${收缩}_{矢量,2}\离开(x) \ uptau \右)= \压裂{x}{\左| x \右|}\马克斯\左\{0,左\ | x \右| - \ uptau \ \ \}, x \ {\ mathrm {R}} ^ $ $

(17)

对于阈值τ > 0。

压缩传感的基本MR成分

为了将压缩感知理论应用到特定的成像应用中，未知信号应在某些变换域中是稀疏的，且感知矩阵应足够非相干。本节展示了为什么这些条件在MR成像中可以很容易地得到满足，这是CS理论成功应用于MR成像的主要原因之一。

MR图像稀疏性

磁共振图像本身很少是稀疏的。然而，导致CS成功应用于MR的一个重要观察结果是稀疏性与信号冗余密切相关。这是因为使用一些变换可以很容易地将冗余信号转换为稀疏信号。

压缩感知MRI的研究主要有三个方向:1)空间域冗余，2)时间域冗余，3)线圈域冗余。例如，如图5所示。<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="figure anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">1(a)自然图像可以在有限差分或小波变换域中稀疏表示，尽管图像本身并不稀疏。这种观察是允许全变分(TV)和小波变换方法进行图像去噪和重建的主要思想。因此，电视和小波变换已成为大多数CS MRI研究中广泛使用的主要变换。另一方面，如心脏电影、功能MRI和MR参数映射等动态MR图像在时间维度上具有显著的冗余，如图所示。<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="figure anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">1(b).例如，如果图像是完全周期的，那么时间傅里叶变换可能是稀疏信号的最佳变换。然而，在许多动态MR问题中，时间变化取决于MR物理以及器官的特定运动，因此傅立叶变换等分析变换可能不是最优解决方案，而更多数据驱动的方法如PCA或字典学习是更好的选择。事实上，这些观察导致了字典学习的方法，我们将在后面讨论。

另一方面，线圈冗余与空间和时域冗余有一定的区别。如图所示。<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="figure anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">1(c)，线圈图像的冗余源于底层公共图像，这导致跨通道冗余:

$ ${年代}^ j (r){\伽马}^我(r) ={年代}^ (r){\伽马}^ j (r), \ mathrm{我}\ ne \ mathrm j}{\原则\ mathrm {r} $ $

（18)

在哪里<我>年代^我表示第i个线圈灵敏度映射和<我>γ^我是线圈图像。(18)中的关系很容易表示，因为线圈图像是由(2)给出的。经典并行MRI的主要思想就是利用这种关系。具体来说，敏感度编码(SENSE) [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 1" title="1" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3192">1]利用了(18)中描述的图像域冗余，而k空间域方法，如GRAPPA [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 3" title="3." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3195">3.]利用了k空间中的对偶关系:

$ $ {\ widehat{年代}}^ j (r)、ast {\ widehat{\伽马}}^我(r) = {\ widehat{年代}}^我(r)、ast {\ widehat{\伽马}}^ j (r), \ mathrm{我}\ ne \ mathrm j}{\原则\ mathrm {r} $ $

(19)

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∗表示卷积，并且<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ ({\ widehat{年代}}^ j \)，<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ ({\ widehat{\伽马}}^ j \)注意到的傅里叶变换<我>年代^j而且<我>γ^j分别。稍后我们将描述在压缩感知MRI中如何利用这两种线圈尺寸冗余的表达式。

非相干采样模式

在压缩感知MRI中，下采样模式对非相干性的施加非常重要，但其实现受到MR物理的限制。例如，在二维采集中，读出方向需要完全采样，因此在设计不相干采样模式时，只有相位编码方向是自由的。数字<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="figure anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">2(a)-(c)显示了文献中已开发的可实现采样模式的示例:a)笛卡尔欠采样，b)径向轨迹，c)螺旋轨迹。特别是径向和螺旋轨迹，这在压缩感知的发展之前就已经被研究过了[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 35" title="35" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3379">35]，与笛卡尔欠采样相比，具有更多的非相干径向采样模式。

另一方面，如果我们处理三维成像或动态成像，由于有二维自由度，有更多的空间进行采样图案设计。数字<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="figure anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">2(d)是二维随机抽样模式的一个例子。对于基于小波变换的稀疏性强加先验的情况，Lustig等[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 14" title="14" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3405">14]表明，将点扩散函数(PSF)的概念推广到变换点扩散函数(TPSF)可以优化不相干性。具体地说，TPSF度量底层对象的单个变换系数最终如何影响被测欠采样对象的其他变换系数。为了计算TPSF，首先将小波变换空间中第i个位置的单点变换到图像空间，然后再变换到傅里叶空间。对相应的傅里叶空间数据进行下采样后，先进行反变换，再进行小波反变换，即可计算出其在小波变换域中的影响。为了获得最佳的非相干性，TPSF的边值应尽可能小，以便通过收缩操作去除旁瓣贡献。这被用作取样图案设计的主要标准。

历史上的里程碑

压缩感知在MRI上的最早应用是由Lustig和他的合作者完成的[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 14" title="14" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3416">14］．CS在动态MRI中的应用是由Jung等人首创的。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3419">18和Gamper等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 36" title="36" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3422">36，后来荣格等人对其进行了显著改进。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3425">20.］．这些早期工作的积极结果带来了静态和动态MRI的一系列新想法。

在将CS与并行成像相结合方面，Block等人首次将其应用于静态成像。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 37" title="37" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3431">37]结合全变差惩罚和并行成像;和梁等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 38" title="38" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3434">38在更一般的形式中使用SENSE。在动态成像中，荣格等人的工作。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3437">18和冯等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 39" title="39" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3440">39]是第一批将SENSE类型的并行成像与k-t域压缩感知相结合的。Lustig等人率先将CS与使用GRAPPA类型约束的并行成像相结合。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 40" title="40" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3443">40］．也研究了线圈压缩技术，以减少用于CS重构的线圈数量[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 41" title="41" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3447">41］．冯等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 42" title="42" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3450">42]后来结合压缩感知、并行成像和金角径向采样，实现了快速灵活的动态体积MRI，并已被批准用于临床。

除了标准的l<年代ub>1在压缩感知MRI中，采用了几种新颖的稀疏诱导惩罚方法。例如，Trzasko等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 43" title="43" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3458">43，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 44" title="44" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3461">44提出了一个直接的建议<年代ub>0最小化方法，而Knoll等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 45" title="45" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3466">45，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 46" title="46" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3470">46提出了一种广义全变分方法，而Sung等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 47" title="47" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3473">47]将近似的消息传递算法与并行成像相结合。这一思想随后被推广到词典学习[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3476">20.，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 48" title="48" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3479">48，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 49" title="49" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3482">49]和运动补偿[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3485">20.，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 50" title="50" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3489">50］．随后，低秩正则化的思想很快被引入[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 49" title="49" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3492">49，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="51" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR51" id="ref-link-section-d33194640e3495">51，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="52" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR52" id="ref-link-section-d33194640e3495_1">52，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 53" title="53" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3498">53感谢坎迪斯等人的理论进步。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 54" title="54" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3501">54］．低秩思想进一步推广到并行成像的结构化低秩方法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 55" title="55" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3504">55]和有限支撑单线圈成像[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 56" title="56" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3508">56］．Jin和他的同事发现了压缩感知和低秩汉克尔矩阵方法之间的对偶性[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="57" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR57" id="ref-link-section-d33194640e3511">57，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="58" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR58" id="ref-link-section-d33194640e3511_1">58，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="59" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR59" id="ref-link-section-d33194640e3511_2">59，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 60" title="60" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3514">60和Ongie等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 61" title="61" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3517">61］．特别是Jin等人提出了基于低秩汉克尔矩阵方法的压缩感知和并行MRI的统一框架。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 57" title="57" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3520">57]，并在[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 62" title="62" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3523">62］．

在下面，我们提供更详细的回顾这些历史里程碑在压缩感知MRI。

压缩感知MRI的基本公式

虽然一些MR图像(如血管造影)在像素表示上已经是稀疏的，但更复杂的图像很少是稀疏的，而只是在某些变换域中有稀疏表示，例如在空间有限差分或小波系数方面。基于这一观察，Lustig等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 14" title="14" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e3539">14]提出了第一个用空间域小波变换作为稀疏变换的压缩感知MRI。更具体地说，这个问题被表述为

$$ \underset{x}{\min}\{\左\Vert \Psi \upgamma \右\Vert}_1 $$

(20)

$$ \mathrm{subject}\ \mathrm{to}\{\ \左\Vert y- DF\upgamma \右\Vert}^2<\epsilon $$

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">‖∙<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">‖₁表示我<年代ub>1规范,<我>F为傅里叶变换，γ为二维复图像，Ψ为有限差分或空间小波变换，<我>D为下采样模式，y为下采样k空间测量。情商。<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="equation anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">20.)采用非线性共轭梯度法求解。

然而，得到的优化算法计算量很大。对于笛卡尔采样轨迹，这个问题可以通过以下方法克服。具体来说，ADMM实现中(20)的图像更新步骤可以总结为

$ $ \离开({F} ^ {\ ast} {D} ^ {\ ast} DF + \μI \) \ upgamma = {F} ^ {\ ast} {D} ^ {\ ast} y - \μ{\ Psi} ^ {\ ast} \离开({\ upzeta} ^ {(k)} -{你}^ {(k)} \右),$ $

由于要求矩阵逆才能得到γ，所以计算量很大。用傅里叶变换，而不是直接矩阵逆<我>F对双方来说，我们都有

左($ $ \ D {} ^ {\ ast} D + \μI \) \ widehat{\伽马}= {D} ^ {\ ast} y + \μF {\ Psi} ^ {\ ast} \离开({你}^ {(k)} - {\ upzeta} ^ {(k)} \右)$ $

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ widehat{\伽马}= F \ upgamma \)．注意由1和0组成的对角矩阵D*D。这些是对角线上的元素对应于k空间中的采样点。让Ω表示采样位置。然后,

$ $ {\ widehat{\伽马}}^{\离开(k + 1 \右)}= {P} _{ω\}\离开(\压裂{D ^ {\ ast} y + \μF {\ Psi} ^ {\ ast} \离开({你}^ {(k)} - {\ upzeta} ^ {(k)} \右)}{μ1 + \}\右)+ {P} _ {\ cω^}\离开(F {\ Psi} ^ {\ ast} \离开({你}^ {(k)} - {\ upzeta} ^ {(k)} \) \右),$ $

(21）

P<年代ub>Ω和P<年代ub>Ωc表示在采样位置Ω及其补集Ω上的投影<年代up>c,分别。然后，图像更新<我>γ^{（<我>k+ 1)}可以通过快速傅里叶变换(FFT)来简单地完成。

Lustig等人的第一个实验证明[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 14" title="14" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4057">14]清楚地证实了压缩感知算法的效率，这导致了许多其他使用各种稀疏变换的CS方法，以及优化算法等。例如，要处理多个超参数，以便在稀疏性和数据保真度项之间进行权衡。许多研究已经在数量上进行了这种权衡，提供了不同形式的重构，甚至提出了无超参数重构方法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="63" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR63" id="ref-link-section-d33194640e4060">63，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="64" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR64" id="ref-link-section-d33194640e4060_1">64，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="65" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR65" id="ref-link-section-d33194640e4060_2">65，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="66" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR66" id="ref-link-section-d33194640e4060_3">66，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="67" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR67" id="ref-link-section-d33194640e4060_4">67，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="68" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR68" id="ref-link-section-d33194640e4060_5">68，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="69" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR69" id="ref-link-section-d33194640e4060_6">69，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 70" title="70" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4063">70］．

压缩感知MRI的先进配方

非笛卡尔压缩感知MRI

非笛卡尔采样的压缩感知也得到了广泛的研究，因为考虑到非笛卡尔采样方案的采样行为和压缩感知重构中的不相干要求，它们确实是一个很好的组合。除了之前讨论的径向和螺旋采样模式外，[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="71" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR71" id="ref-link-section-d33194640e4078">71，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="72" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR72" id="ref-link-section-d33194640e4078_1">72，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="73" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR73" id="ref-link-section-d33194640e4078_2">73，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="74" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR74" id="ref-link-section-d33194640e4078_3">74，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="75" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR75" id="ref-link-section-d33194640e4078_4">75，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="76" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR76" id="ref-link-section-d33194640e4078_5">76，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="77" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR77" id="ref-link-section-d33194640e4078_6">77，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="78" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR78" id="ref-link-section-d33194640e4078_7">78，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="79" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR79" id="ref-link-section-d33194640e4078_8">79，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="80" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR80" id="ref-link-section-d33194640e4078_9">80，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="81" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR81" id="ref-link-section-d33194640e4078_10">81，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="82" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR82" id="ref-link-section-d33194640e4078_11">82，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 83" title="83" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4081">83研究了如何设计更好的非相干采样轨迹。例如，Haldar等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 82" title="82" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4084">82和Puy等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 83" title="83" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4087">83]提出了随机相位赋值方案，最大限度地提高了传感矩阵的非相干性。然而，与非笛卡尔压缩感知MRI相关的一个主要技术问题是(所示的快速重建技巧)。<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="equation anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">21)不能使用，这会增加整体计算时间。

并行成像与CS的结合

回想一下平行核磁共振成像(pMRI) [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 1" title="1" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4101">1，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 3" title="3." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4104">3.]利用接收机线圈灵敏度图的多样性，该灵敏度图乘以未知图像。这为未知图像提供了额外的空间信息，从而通过k空间样本约简加速MR数据采集。由于并行成像和CS方法的目标是相似的，因此已经进行了大量的研究，以协同地将两者结合起来，以进一步加速[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4107">18，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4110">20.，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 38" title="38" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4113">38，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 40" title="40" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4117">40，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 84" title="84" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4120">84］．

最简单的方法之一是SENSE类型的方法，它显式地利用估计的线圈映射来获得增强压缩感知问题[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4126">18，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4129">20.，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 38" title="38" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4132">38，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 84" title="84" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4135">84］．更具体地说，如果线圈灵敏度已知，并由灵敏度[<我>年代^我， i = 1，<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">⋯，<我>C，则SENSE型压缩感知MRI问题可表述为

$ $ \暗流{x}{\分钟}\压裂{1}{2}{\总和}_ {i = 1} ^ C{\左\绿色{b} ^我——DF \[{年代}^我\]x \ \绿色}^ 2 + \ uplambda{\左\绿色\ Psi \ mathrm {x} \右\绿色}_1 $ $

(22)

该优化框架是稀疏约束下的标准优化框架，因此可以使用近端优化算法来解决该问题。

另一方面，我<年代ub>1精神(左<年代ub>1-迭代自洽并行成像重建)[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 40" title="40" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4264">40]利用GRAPPA类型约束作为压缩感知问题的附加约束:

数组$ $ {\ displaystyle \开始{}{c} \暗流{x}{\分钟}\ kern。左5 em{\ \绿色\ Psi \ mathrm {x} \右\绿色}_1 \ \ {}\ kern。5他们\ mathrm{主题}\ \ mathrm{到}\ kern。5em {\left\Vert {b}^i- DF\left[{S}^i\right]x\right\Vert}^2<\epsilon, \kern1em i=1,\dots, C\\ {}\mathrm{x}=\mathrm{Mx}\end{array}} $$

(23）

在哪里<我>米为图像域GRAPPA算子。在这两种方法中，准确估计线圈灵敏度映射或GRAPPA核是充分利用线圈灵敏度多样性的必要条件。为了解决这个问题，Uecker等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 85" title="85" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4497">85]开发了一种新的特征空间方法，直接从k空间数据中提取线圈灵敏度映射，这是MR研究人员广泛使用的最流行的方法之一。

基于字典学习的盲压缩感知MR

盲压缩感知方法试图同时重建底层图像和稀疏变换从高度低采样的测量。Ravishankar和他的同事们开创了两种截然不同的方法——合成字典学习[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 48" title="48" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4508">48和分析改变学习[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 86" title="86" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4511">86-当基础稀疏化变换先验未知时。

合成基于字典的BCS

更具体地说,让<我>P_j， j = 1…，N表示提取m维patch作为向量P的算子<年代ub>jx<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈C<年代up>米从图像x，其中N为补丁的数量。那么，字典学习就是寻找未知的字典<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">$D\in {\mathrm{R}}^{m\times \mathrm{Q}} $和相应的稀疏系数矩阵<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">$C\in {\mathrm{C}}^{m\times \mathrm{n}} $令Y = DC，其中<我>Y= (<我>P₁x P₂x…,<我>P_Nx］

综合模型允许每个补丁<我>P_j用线性组合近似X<我>Dc<年代ub>j字典中少量列的<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">$D\in {\mathrm{C}}^{n\times \mathrm{K}} $,其中c<年代ub>j∈C<年代up>K是稀疏的。已学字典的列(用d表示)<年代ub>k， 1≤k≤k)在(P0)中附加约束为单位范数，以避免尺度模糊。假设字典和图像补丁比图像小得多。该模型可以用作信号模型，而Ravishankar等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 48" title="48" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e4650">48]提出了以下基于补丁的字典学习正则器:

$ $ \ mathrm {R} \离开(\ mathrm {x} \右)= \暗流{D、C}{\分钟}{\总和}_ {j = 1} ^ N{\左\绿色{P} _jx——{D} _ {C_j} \ \绿色}^ 2,s。t，\left\Vert {d}_i\right\Vert =1，\forall \mathrm{i}，{\left\Vert {C}_j\right\Vert}_0\le k\forall \mathrm{j} $$

(24）

在哪里<我>C_j而且<我>d_j的第j列<我>C而且<我>D,分别。然后，给出相应的BCS公式

$ $ (P0): \暗流{x、D、C}{\分钟}v{\左右\ Vert Ax-b \ \绿色}_2 ^ 2 + \总和\ limits_ {j = 1} ^ N{\左\绿色{P} _jx——{D} _ {C_j} \ \绿色}^ 2,s。t，\左\维特{d}_i\右\维特=1\forall \mathrm{i}，{\左\维特{C}_j\右\维特}_0\le s\forall \mathrm{j} $$

(25）

在哪里<我>一个：<我>＝DF表示下采样的傅里叶变换。

为了解决优化问题(P0)， Ravishankar等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 48" title="48" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5037">48]采用了以下两步交替最小化算法。首先，通过固定x，解决以下小型化问题:

$ $ \暗流{D、C}{\分钟}\总和\ limits_ {j = 1} ^ N{\左\绿色{P} _jx——{D} _ {C_j} \ \绿色}^ 2,s。t，\left\Vert {d}_i\right\Vert =1\forall \mathrm{i},{\left\Vert {C}_j\right\Vert}_0\le K\forall \mathrm{j} $$

（26)

K-SVD算法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 87" title="87" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5191">87是用来学字典的。对于一个给定的字典

D，图像更新可以通过

$ $ \暗流{x}{\分钟}\左\ {\ v{\左右\ Vert Ax-b \ \绿色}_2 ^ 2 +{\总和}_ {j = 1} ^ N{\左\绿色{P} _jx——{D} _ {C_j} \ \绿色}^ 2 \ \}$ $

(27）

这些步骤交替进行，直到收敛为止。与非自适应压缩感知方案相比，字典学习MRI显示出更好的MRI图像重建。

Sparsifying transform-based BCS

然而，BCS问题(P0)既是非凸的，又是np难的。(P0)的近似迭代算法通常重复解决合成稀疏编码问题，这使得它们的计算成本很高。为了克服上述基于合成字典的BCS的一些缺点，Ravishankar等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 86" title="86" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5323">86]提出在本工作中使用稀疏变换模型。稀疏化变换学习在应用中已被证明是有效和高效的，同时也有良好的收敛保证。具体来说，他们使用了以下转换学习正则器:

$ $ \ mathrm {R} \离开(\ mathrm {x} \右)= \暗流{W C}{\分钟}{\总和}_ {j = 1} ^ N{\左\绿色W P {} _jx——{C} _j \ \绿色}^ 2 + \ uplambda \ mathrm {Q} \离开(\ mathrm {W} \右),\ mathrm{}。\ mathrm {t}。{\左\Vert B\右\Vert}_0\le s $$

(28)

其中W<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">∈C^{m\× m}表示未知变换，函数Q(W)是由给出的变换的正则器

$ $ \ mathrm {Q} \离开(\ mathrm {W} \右)= - \ log \左右| \侦破W \ | + 0.5{\左右\绿色W \ \绿色}_F ^ 2 $ $

−log |det .输出说明<我>W|惩罚消除退化解，如那些重复行。的<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">‖W‖_F惩罚有助于消除解决方案中的规模模糊。

然后，附加约束<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">‖x‖≤<我>E，整体优化问题为

$ $ (P1): \暗流{x, W C}{\分钟}v{\左右\ Vert Ax-b \ \绿色}_2 ^ 2 + \总和\ limits_ {j = 1} ^ N{\左\绿色W P {} _jx——{C} _j \ \绿色}^ 2 + \ uplambda \ mathrm {Q} \离开(\ mathrm {W} \右),酸处理{\左\Vert \mathrm{C}\右\Vert}_0\le s，\左\Vert x\右\Vert \le E， $$

(29)

在哪里<我>一个＝DF再次表示下采样的傅里叶变换。(P1)的一个重要优点是W存在一个封闭形式的更新，因此可以避免计算量大的字典学习步骤。

压缩感知动态MRI的K-t方法

动态MRI是一种获取时间变化的MR序列的技术，如心脏电影、灌注、时间分辨血管造影、功能MRI等。在动态MRI中，沿时间方向存在着显著的冗余，可以在各种压缩感知方法中广泛研究。

k - t大灭绝稀疏

Lustig等人的k-t SPARSE [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 88" title="88" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5654">88是压缩感知动态MRI的最早版本。回想一下k空间的测量<我>b (k, t)在t时刻由

左(k, t $ $ b \ \右)= \ int \伽马\离开(s t \右){e} ^ {j2 \πks} ds $ $

(30）

傅里叶变换在时间方向上的另一个应用

$ $ \伽马\离开(年代,\ mathrm {t} \右)= \ int p \离开(s、f \右){e} ^ {j2 \π英尺}df, $ $

(31)

得到如下二维傅里叶关系:

$ $ b \离开(k, \ mathrm {t} \右)= \ iint p \离开(s、f \右){e} ^ {j2 \π\离开(kl +英尺\右)}dsdf, $ $

（32)

其中ρ(s, f)表示γ(s, t)的时间傅里叶变换。

请注意,<我>p（<我>年代,<我>f)通常是稀疏的，因为来自心脏的周期性运动或来自功能磁共振成像的缓慢变化的运动可以很容易地使用时间傅里叶变换稀疏。因此，k-t数据可以表示为来自时空图像的映射:

$$ b= A\rho $$

（33）

在哪里<我>一个：<我>＝DF而且<我>D是k-t下采样模式<我>F现在变成了二维傅里叶变换。除了时间傅里叶变换，[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 88" title="88" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5865">88]在空间维度上使用小波变换来挖掘空间冗余。然后，根据以下优化问题制定k-t SPARSE:

$$ \underset{\gamma}{\min}{\左\Vert b- DF\gamma \右\Vert}_2^2+\uplambda{\左\Vert W\gamma \右\Vert}_1 $$

(34)

在哪里<我>W分别为空间小波变换。

k - t大灭绝的焦点

初步的CS动态MRI入路[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 36" title="36" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5947">36，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 88" title="88" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5950">88似乎不同于经典的k-t方法，如k-t BLAST/SENSE [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 5" title="5" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5953">5］．荣格等人对k-t焦点的最重要贡献之一。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5956">18，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e5959">20.]揭示了压缩感知动态MRI与经典的k-t方法并没有太大的区别，而是可以通过对经典的k-t BLAST/SENSE进行非常简单的修改来获得，以确保显著的性能提高。

更具体地说，k-t focus利用了x-f域稀疏性，而不是使用小波变换。那么，一个标准的压缩感知公式将是:

$$ \underset{\rho}{\min}{\左\Vert b- DF\rho \右\Vert}_2^2+\uplambda{\左\Vert \rho \右\Vert}_1 $$

(35）

增强x-f图像的稀疏性<我>ρ．然而，在k-t焦点中还存在两个新的联系。首先，不是直接加强x-f图像的稀疏性，k-t focus使用初始估计进一步稀疏x-f图像。

具体地说,让ρ<年代ub>0是ρ的可预测的初始估计。然后,剩余

$$ \mathrm{x}=\uprho -\uprho 0 $$

(36)

应该比原始时空图像稀疏得多。第二，而不是直接使用l<年代ub>1最小化，k-t focus采用重加权范数方法。这就产生了以下等价最小化问题:

x, v $ $ \暗流{}{\分钟}{\左\绿色b{\ρ}_0 - Ax \ \绿色}_2 ^ 2 + \ uplambda \压裂{1}{2}{\总和}_ {i = 1} ^ n \离开[\压裂{{x_i} ^ 2} {v_i} + {v} _i \],美元美元

(37）

然后，关于x和v的法方程由

$ $ - \压裂{{x_i} ^ 2} {{v_i}} ^ 2 + 1 = 0 $ $

$ $ - F {} ^ H \离开(b{\ρ}_0 - Ax \右)+ \ uplambda {V} ^ {1} $ $ x = 0

其中V是一个对角矩阵，它的第i个对角元素是V<年代ub>我．这导致了以下focus迭代:

$ $ {\ uprho} ^{\离开(\ mathrm {n} + 1 \右)}= {\ uprho} _0 + {\ mathrm {W}} ^{\离开(\ mathrm {n} \右)}{\ mathrm{一}}^ {\ mathrm {H}}{\离开({\ mathrm{一}}^ {\ mathrm {H}} {\ mathrm {W}} ^{\离开(\ mathrm {n} \右)}\ mathrm{一}+ \ uplambda \ mathrm{我}\右)}^{1}\离开(\ mathrm {v} - \ mathrm{一}{\ uprho} _0 \右)$ $

(38)

权重矩阵由什么给出

$ $ {W} ^{\离开(n + 1 \右)}= \ operatorname{诊断接头}\离开({\左| {x} ^{\离开(n + 1 \右)}\右|}^{\压裂{1}{2}}\右)。$ $

最有力的观察之一是[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6470">18，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6473">20.]是(38)的第一次迭代与经典的k-t BLAST/SENSE算法的形式非常相似，只是权重矩阵的功率因数不同。这一观察结果导致了一个创新的想法，将k-t BLAST/SENSE转换为压缩感知方法。更具体地说，通过使用不相干采样模式、多次迭代和对角矩阵的正确权重因子，k-t focus [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6476">18，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6479">20.清楚地展示了性能的改进。这一观察结果表明，经典k-t算法如k-t BLAST/SENSE [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 5" title="5" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6482">5不是从贝叶斯的角度出发的[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 5" title="5" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6486">5，但它实际上是源于对时空领域稀疏性的利用[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6489">18，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6492">20.］．此外，通过简单地修改权重因子和采样模式，几次额外的迭代可以显著提高k-t BLAST/SENSE的性能。

k-t focus的另一个强大的方面是，该思想可以很容易地扩展到利用其他变换域的稀疏性。例如，(中的残留步骤<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="equation anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">36)通过减去时间均值图像可解释为稀疏性提升步骤。因此，荣格等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6501">20.]提出了运动估计和补偿修改k-t focus，使残余信号更稀疏。更具体地说，他们不是减去时间平均值，而是减去运动估计帧。注意，运动估计和补偿(ME/MC)是视频编码中的一个重要步骤，它使用运动向量来利用帧之间的时间冗余[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 89" title="89" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6504">89，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 90" title="90" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6507">90］．为了在动态MRI中使用ME/MC，有几个技术问题需要解决。首先，至少需要一个参考框架。这个问题可以很容易地解决，如果我们获得一个帧的完整采样数据经常在动态MRI。然而，主要的技术困难来自于低质量的当前框架的存在。幸运的是，这个问题可以在ME/MC之前使用一个额外的重构步骤来解决[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6510">20.］．

此外，利用数据驱动变换可以进一步稀疏时空信号:

$$ \uprho =\mathrm{Dc}， $$

其中D表示基于图像学习的时间字典，而c表示系数。那么，成像问题可以表述为

$ $ \暗流{c v D}{\分钟}{\左\绿色b{\ρ}_0-A {D}正确_C \ \绿色}_2 ^ 2 + \ uplambda \压裂{1}{2}{\总和}_ {i = 1} ^ n \离开[\压裂{{为C_i} ^ 2} {v_i} + {v} _i \],美元美元

（39)

例如，为了找到能稀疏ρ的时间基础，荣格等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 18" title="18" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6683">18，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 20" title="20." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6686">20.]在图像重建后进行奇异值分解(SVD)，然后利用新字典估计新的系数。此过程与部分可分函数(PSF)密切相关[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 91" title="91" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6689">91和k-t SLR (k-t稀疏和低秩分解)[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 49" title="49" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6692">49]，我们会尽快审阅。

部分可分函数(PSF)方法

在Liang等人的PSF模型中[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 91" title="91" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6703">91]，假设k-t样本按如下形式分解

左(k, t $ $ b \ \右)= \ \ limits_总和{l = 1} l ^ {\ Psi} _l (k) {\ varnothing} _l (t) $ $

对于一些数据相关的谱基和时间基函数<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">左\ ({\ \ {{\ Psi} _l (k) \ \}} _ {l = 1} ^ l \)而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">左\ ({\ \ {{\ varnothing} _l (t) \ \}} _ {l = 1} ^ l \)．由于部分可分离假设，对于全采样k-t数据，所谓的Casorati矩阵B由

左$ $ \ mathrm {B} = \ [\ B开始{数组}{ccc} \离开({k} _1, {t} _1 \右)& \ cdots & B \离开({k} _1, {t} _n”\)\ \ {}\ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ B{} \离开({t}, {k} _m _1 \右)& \ cdots & B \离开({t}, {k} _m _n”\右)数组{}\ \端)$ $

最大为L级。

在动态CS MRI中，许多k-t样本缺失，我们有兴趣找到缺失的成分。因此，利用Ca-sorati矩阵的低秩性，可以使用低秩矩阵补全算法估计缺失的k-t样本。特别是[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 92" title="92" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6899">92，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 93" title="93" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e6902">93]提出了以下矩阵分解方法:

左$ $ \ \ {\ widehat{你},\ widehat {V} \右\}= \ mathit {arg \} \暗流{U, V}{\分钟}{\ \绿色了\离开(U V {} ^ H \右)- b \ \绿色}$ $ ^ 2

(40）

在哪里<我>一个表示k-t抽样算符，它表示缺失的样本为0，和<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">$U\in {\mathrm{C}}^{m\times \mathrm{L}} $，<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">$V\in {\mathrm{C}}^{m\times \mathrm{L}} $用于低秩矩阵分解<我>B=<我>U V^H，对U和V交替进行优化，利用之前的估计固定另一个矩阵。由于不知道B的确切级别，作者提出了增量功率分解(IRFP)算法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 92" title="92" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7060">92), (<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="equation anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">40)开始<我>l的幂因式分解的初始化增加阶数，得到= 1<我>l的+ 1<我>l．为了避免过拟合，一旦数据保真度低于某个阈值，算法就会终止。

K-t单反:K-t稀疏和低秩方法

Lingala等人的k-t稀疏和低秩方法(k-t SLR)模型[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 49" title="49" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7084">49是一种更系统的学习基系数和稀疏系数的方法。在这种方法中，时空信号ρ(x, t)首先以矩阵形式重新排列

左$ $ \ uptau = \[开始\{数组}{ccc} \ρ\离开({x} _1, {t} _1 \右)& \ cdots & \ρ\离开({x} _1, {t} _n”\)\ \ {}\ vdots & \ ddots & \ vdots \ \{} \ρ\离开({t}, {x} _m _1 \右)& \ cdots & \ρ\离开({t}, {x} _m _n”\右)数组{}\ \端)$ $

(41)

然后，利用低秩先验，优化问题可以表述为

$\underset{\Gamma}{\min}{\左\Vert b-A\左(\Gamma \右)\右\Vert}^2+\uplambda \upvarphi \左(\Gamma \右)$，

在哪里<我>一个：<我>＝DF现在是一个下采样的傅里叶变换。在这里，秩先验是近似使用一般的Schatten p泛函类，由

$$ \upvarphi \left(\Gamma \right)={\left\Vert \Gamma \right\Vert}_p^p=\sum \limits_i{\upsigma}_i^p， $$

在{σ<年代ub>我}表示Γ的奇异值。

在动态成像应用中，时间序列中的图像可能具有稀疏小波系数或稀疏梯度。此外，如果体素的强度分布是周期性的(如心电影)，它们在傅里叶域中可能是稀疏的。基于这一观察，Lingala等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 49" title="49" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7365">49]提出了在指定基集中附加稀疏诱导惩罚和低秩属性，以进一步提高回收率。具体来说，他们选择了二维小波变换来稀疏化时间序列中的每个图像，而可以是一维傅里叶变换来利用运动的伪周期性质。然后，得到的复合最小化问题可以表述为

$ $ \暗流{\伽马}{\分钟}{\左\绿色b - \ mathcal{} \左右γ(\ \)\ \绿色}^ 2 +{\λ}_1{\左右\绿色\伽马\ \绿色}_p ^ p +{\λ}_2{\左\绿色\√6 {\ \ limits_总和我= {0}^ {q1}{\左|{\φ}_i H \ ^γ{\ Psi} _ {\ mathrm{我}}\右|}^ 2}\右\绿色}_1 $ $

(42)

k空间结构的低秩方法

基本理论

与标准的压缩感知方法相比，k空间结构的低秩方法，如SAKE [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 55" title="55" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7453">55], LORAKS [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 56" title="56" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7456">56],迎宾[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 57" title="57" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7459">57，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 59" title="59" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7462">59，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 60" title="60" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7465">60和GIRAF [<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 61" title="61" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e7469">61，但在核磁共振成像方面有巨大的潜力。这些方法都是由k空间卷积关系导出的，可以用于静态和动态成像。我们首先讨论卷积的矩阵表示。为了简单起见，我们将考虑一维表示法。

具体来说，考虑来自多通道线圈的全采样k空间测量:

$$ {y}^i=F{\gamma}^i,i=1，\cdots, C $$

在γ<年代up>我表示未知的第i个线圈图像和y<年代up>我对应于它的k空间数据。注意y的k空间卷积的矩阵表示<年代up>我对于d-tap滤波器，h由

$ $ {z} ^我= \ mathcal C{} \离开({y} ^我\)\眉题{h} $ $

(43）

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ mathcal C{} \离开({y} ^我\)\)表示由向量y构造的卷积矩阵<年代up>我：

$ $ \ mathcal C{} \离开({y} ^我\)=左\[开始\{数组}{预备}\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ {} {y} ^我\ [1 \]& {y} ^我\ [0 \]& \ cdots & {y} ^我\ [d2 \右)\ \ {}{y} ^我\ [0 \]& {y} ^我\ [1 \]& \ cdots & {y} ^我\[正确d 1 \] \ \ {} {y} ^我\ [1 \]& {y} ^我\ [2 \]& \ cdots & {y} ^我\ [d \] \ \ {} \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ {} {y} ^我\[天\右)& {y} ^我\[一天+ 1 \]& \ cdots & {y} ^我\ [n - 1正确\]\ \ {}{y} ^我\[一天+ 1 \]& {y} ^我\[一天+ 2 \]&离开了\ cdots & {y} ^我\ [n正确\]\ \ {}\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \结束数组{}\]$ $

(44)

h¯表示一个反转元素顺序的向量。如果我们提取n - d > d的卷积矩阵的n - d行，我们可以得到如下Hankel结构矩阵:

$ $ {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {d}} \离开({y} ^我\)=左\[开始\{数组}{预备}{y} ^我\ [0 \]& {y} ^我\ [1 \]& \ cdots & {y} ^我\[正确d 1 \] \ \ {} {y} ^我\ [1 \]& {y} ^我\ [2 \]& \ cdots & {y} ^我\ [d \] \ \ {} \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ {} {y} ^我\[天\右)& {y} ^我\[一天+ 1 \]& \ cdots & {y} ^我\ [n - 1正确\]{数组}\ \端)$ $

（45)

定义Y = [Y]<年代up>1,<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">⋯,<我>y^C，我们可以进一步定义扩展的汉克尔矩阵

$ $ {\ mathcal {H}} _ {d \中期C} (Y) {H} _{\离开(我k \右)}=左\ [{\ mathcal {H}} _d \离开({Y} ^ 1 \) \ cdots {\ mathcal {H}} _d \离开({Y} ^ C \) \右)$ $

(46）

接下来，我们将解释如何将这些汉克尔结构矩阵用于加速MRI。

为了

一种无需校准的并行成像重建方法，称为同步校准和k空间估计(SAKE)，是一种数据驱动的逐圈重建方法，不需要单独的校准步骤来估计线圈灵敏度信息[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 55" title="55" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e8269">55］．SAKE是基于GRAPPA中的以下观察结果:

$ ${\总和}_ {k \ ne我}^ C {y} ^ k \ ast {w} _{\离开(k,我\右)}= {y} ^ $ $

(47）

这意味着第i个k空间的测量可以表示为来自其他线圈的滤波k空间数据的线性组合。在矩阵形式中，这种递归关系意味着汉克尔矩阵零空间的存在。

$ $ {\ mathcal {H}} _ {d \中期C} (Y) {H} _{\离开(我k \右)}=左\ [{\ mathcal {H}} _d \离开({Y} ^ 1 \) \ cdots {\ mathcal {H}} _d \离开(C {Y} ^ \) \右]{\ mathrm {H}} _{\离开(\ mathrm{我}\ mathrm {k} \右)}= 0 $ $

(48)

换句话说,<我>H_d|<我>C(Y)是低级的。因此，SAKE解决了以下低秩矩阵补全问题来插值缺失的k空间数据:

$$ \underset{M}{\min}\kern0.50em \operatorname{rank}\左(\mathcal{H}(M)\右)$$

$ $ \ mathrm{主题}\ \ mathrm{到}\ kern0.50em {\ mathrm {P}} _{ω\}\离开({m} ^我\)= {P} _{ω\}\离开({y} ^我\右),i = 1, \ cdots C $ $

P<年代ub>Ω(·)表示测量k空间样本在指标集Ω上的投影。采用迭代奇异值收缩法解决问题[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 94" title="94" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e8617">94］．

LORAKS

局部空间邻域(LORAKS)的低秩建模[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 56" title="56" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e8628">56受到有限支撑条件的启发。更具体地说，如果物体γ有有限的支撑，我们可以很容易地找到函数w使

$$ \upgamma \mathrm{w}=0， $$

这就产生了k空间的卷积关系

$ $ \ mathrm {y} \ ast \ mathrm {h} = 0 \ Rightarrow \ mathcal {h} \离开(\ mathrm {y} \) \ mathrm {h} = 0, $ $

y和h分别表示γ和w的傅里叶谱。因此，这给出了低秩条件的一个单通道版本，结果是以下秩极小化问题:

$$ \underset{m}{\min}\kern0.5em \operatorname{rank}\左(\mathcal{H}(m)\右)$$

$ $ \ mathrm{主题}\ \ mathrm{到}\ {\ mathrm {P}} _{\ω}(m) = {P} _{ω\}\离开(\ widehat {y} \右),$ $

迎宾和GIRAF

基于湮灭滤波的低秩汉克尔矩阵(ALOHA)方法[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="57" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR57" id="ref-link-section-d33194640e8834">57，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="58" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR58" id="ref-link-section-d33194640e8834_1">58，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="59" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR59" id="ref-link-section-d33194640e8834_2">59，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 60" title="60" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e8837">60，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 62" title="62" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e8840">62和GIRAF(通用迭代重加权湮灭滤波器)[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 61" title="61" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e8843">61]可以被认为是对MR测量具有有限创新率(FRI)的一般信号类的SAKE和LORAKS的完全推广。此外，该方法将并行成像和压缩感知统一为具有性能保证的k-空间插值[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 62" title="62" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e8846">62]，可用于伪影校正[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 58" title="58" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e8850">58］．本节描述了变换域稀疏性与倒数域低秩性之间的基本对偶关系，这是变换域稀疏性的关键组成部分。为了更好的可读性，我们在这里通过假设1-D信号提供一个高级描述。

我们感兴趣的傅里叶CS问题是从傅里叶测量中恢复未知信号x(t):

$ $ \ widehat {x} \左(\ω\右)= \ mathcal {F} \左\ {x (t) \ \} = \ int x (t) {e} ^{——我\ωt} dt。$ $

(49)

在经典的Nyquist采样中，为了避免混淆工件，网格大小应该不超过:

$$ \Delta =2\uppi /\uptau $$

当时域信号x(t)的支持度为τ时。然后，定义Nyquist速率下的离散傅里叶数据为:

$ ${\离开了。左\ widehat {x} \ [k正确\]= \ widehat {x} \左右ω(\ \)\ |}_{\ω= \压裂{2 \πk}{\τ}}。$ $

(50)

我们还定义了一个长度(r + 1)-湮灭滤波器h口令[k]为x口令[k]满足

$ $ \离开(\ widehat {h} \ ast \ widehat {x} \右)左\ [k正确\]={\总和}_ {p = 0} ^ r \ widehat {h} \ [p \]离开\ widehat {x} \离开正确(kp) \] = 0,给所有k。\ kern0.5em \ $ $

(51)

本文广泛研究了FRI信号的最小长度有限长湮灭滤波器的存在性[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="95" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR95" id="ref-link-section-d33194640e9169">95，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="96" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR96" id="ref-link-section-d33194640e9169_1">96，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 97" title="97" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e9172">97］．设r + 1表示消去离散傅里叶数据的消去滤波器的最小尺寸<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ widehat {\ mathrm {x}} \离开[\ mathrm {k} \右]\)．然后，将适当大小的FIR滤波器与最小长度的湮灭滤波器卷积，可以很容易地得到d-丝锥湮灭滤波器h = d > r + 1。在矩阵形式中，这等价于

$ $ {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {d}} \离开(\ widehat {x} \) \眉题{H} = 0 $ $

(52)

汉克尔结构矩阵在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ ({\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {d}} \左(右\帽子{x} \) \)被构造成

$ $ {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {d}} \离开(\ widehat {x} \右)左= \[开始\{数组}{预备}\ widehat {x} \离开[0 \]与\ widehat左{x} \[1 \]和\ cdots & \ widehat {x} \[正确d 1 \]离开了\ \ {}\ widehat左{x} \[1 \]和\ widehat {x} \[2 \]离开& \ cdots & \ widehat {x} \离开[d \] \ \ {} \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \ \ {} \ widehat {x} \左(一天\右)& \ widehat {x} \[一天+ 1 \]离开& \ cdots & \ widehat左正确[n - 1 \] {x} \ \{数组}结束\右)$ $

(53)

假设min(n−d + 1, d) > r.那么，我们可以证明下面的低秩性质[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 62" title="62" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e9553">62]:

$ $ \ mathrm{排名}\ mathcal {H} \离开(\ widehat {x} \右)= r, $ $

(54)

由于相关汉克尔矩阵的低秩性，使用以下低秩矩阵补全可以很容易地插值缺失的k空间数据[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 62" title="62" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e9604">62]:

数组$ $ {\ displaystyle \开始{}{c} \暗流{m \ {\ mathbb {c}} ^ n} {\ operatorname{最小化}}\ \ mathrm{排名}\ \ mathcal {H} (m) \ \ {} \ mathrm{主题}\ \ mathrm{到}\ {\ mathrm {P}} _{\ω}(m) = {P} _{ω\}\离开(\ widehat {x} \右),结束\{数组}}$ $

(55)

P<年代ub>Ω是采样位置Ω上的投影运算符。此外，如[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 62" title="62" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e9726">62]，与标准傅里叶CS相比，低秩矩阵补全方法(55)不妥协任何最优性。

注意信号在图像域中可能不是稀疏的，但在变换域中可能是稀疏的。事实上，这就是压缩感知的主要思想。具体来说，我们感兴趣的信号x是一条非均匀样条，可以用:

$ $ \ mathrm {Lx} = \ mathrm {w} $ $

(56)

其中L表示常系数线性微分方程，常被称为[中的连续域白算子]。<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 98" title="98" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e9764">98，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 99" title="99" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e9767">99]:

$ $ \ mathrm {L}: = {\ mathrm{一}}_K{\部分}^ K + {\ mathrm{一}}_ {K - 1}{\部分}^ {K - 1} + \点+ {\ mathrm{一}}_1 \部分+ {\ mathrm{一}}_0 $ $

(57)

w是一个连续的稀疏创新:

$ $ w \离开(\ mathrm {t} \右)={\总和}_ {j = 0} ^ {r 1} {c} _j \三角洲\离开(t - t} {_j \右)。$ $

(58）

例如，如果下面的信号是分段常数，我们可以设L为第一个微分。在这种情况下，x对应于总变差信号模型。然后,

通过对(56)进行傅里叶变换，我们得到

$ $ \ widehat {z} \离开(\ω\右):= \ widehat {l} \离开ω(\ \)\ widehat {x} \离开(ω\ \右)={\总和}_ {j = 0} ^ {r 1}{一}_j {\ mathrm {e}} ^ {- \ mathrm{我}\ upomega {\ mathrm {x}} _ {\ mathrm {j}}} $ $

(59)

在哪里

$ $ \ widehat {l} \离开(ω\ \右)={一}_K{\离开(我\ω\右)}^ K +{一}_ {K - 1}{\离开(我\ω\右)}^ {K - 1} + \ cdots +{一}_1 \离开(我\ω\)+{一}_0 $ $

(60)

相应地，汉克尔矩阵<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ mathcal {H} \左(右\帽子{z} \) \)从加权谱z (ω)满足以下秩条件:

$ $ \ mathrm{排名}\ mathcal {H} \离开(\ widehat {z} \右)= r。$ $

由于秩低，缺失的傅里叶数据可以通过以下矩阵补全问题进行插值:

数组$ $ {\ displaystyle \开始{}{c} \离开({P} _w \右){\分钟}_ {m \ {\ mathbb {c}} ^ n}{\左\绿色\ mathcal {H} (m) \ \绿色}_ {\ ast} \ \ {} \ mathrm{管理}{P} _{\ω}(m) = {P} _{ω\}\离开(\帽子{l} \ odot \帽子{y} \右),结束\{数组}}$ $

(61)

或者，对于噪声傅里叶测量<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ widehat {\ mathrm {y}} \)，

数组$ $ {\ displaystyle \开始{}{c} \离开({P} _ {\ mathrm {w}} ^{\ '} \右){\分钟}_ {m \ {\ mathbb {c}} ^ n}{\左\绿色\ mathcal {H} (m) \ \绿色}_ {\ ast} \ \ {} \ mathrm{管理}\左\绿色{P} _{\ω}(m) - P{} _{ω\}\离开(\帽子{l} \ odot \帽子{y} \) \右\绿色\结束勒\三角洲\{数组}}$ $

(62)

在哪里<年代p一个ncl一个年代年代＝"stix">⊙表示阿达玛乘积，<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ widehat {\ mathrm {l}} \)而且<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ widehat {\ mathrm {x}} \)的全样本组成的向量<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ widehat {\ mathrm {l}} \)(ω),<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ (\ widehat {\ mathrm {x}} \)分别(ω)。解决(P后<年代ub>w)时，缺失谱数据x (ω)可通过除以权重得到，即<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">$\宽帽{x}\左(\omega \右)=\mathrm{m}\左(\upomega \右)/\宽帽{l}\左(\omega \右)$假设<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">$\宽帽{l}\左(\欧米茄\右)\ne 0 $．

这种思想可以推广到任何变换域稀疏信号，只要变换可以用移不变滤波器表示。小波域稀疏信号就属于这一类。在这种情况下，傅立叶域中的权核作为子带滤波器的频谱[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="57" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR57" id="ref-link-section-d33194640e10908">57，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="58" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR58" id="ref-link-section-d33194640e10908_1">58，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="59" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR59" id="ref-link-section-d33194640e10908_2">59，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 60" title="60" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e10911">60，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 62" title="62" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e10914">62］．例如,无花果。<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="figure anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">3.展示了MR参数映射的Hankel矩阵的构造，其中小波加权的k空间加权仅沿相位编码方向应用，而不沿t域应用加权，因为对应的时间谱已经稀疏[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 59" title="59" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e10920">59］．

利用(19)也可以很容易地将该思想推广到并行成像中。具体而言，(19)可以用矩阵表示法等价表示:

$ $ {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {d}} \离开({\ widehat{\伽马}}^我\右){\ widehat{年代}}^ j = {\ mathcal {H}} _d \离开({\ widehat{\伽马}}^ j \右){\ widehat{年代}}^我,给所有\ \ mathrm{我}\ ne \ mathrm j} {$ $

(63)

这意味着一个扩展的汉克尔矩阵<年代p一个ncl一个年代年代＝"mathjax-tex">\ ({\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {d} \ \中期mathrm {C}} \左左(\ [{\ widehat{\伽马}}^ 1 \ cdots {\ widehat{\伽马}}^ C \右]\)\)在(46)排名较低。

如MR参数映射Hankel矩阵的多通道构造[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 59" title="59" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11094">59如图所示。<一个d一个t一个-track="click" data-track-label="link" data-track-action="figure anchor" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z">4．

汉克尔矩阵公式的一个最重要的优点是，在统一的框架中，除了图像域冗余外，还可以很容易地利用线圈多样性。这使得单独的线圈灵敏度估计是不必要的。

临床应用

由于压缩感知MRI可以显著加速MR采集，它已被广泛应用于各种临床应用，如快速心脏MRI，全心MRI，动态对比增强(DCE)-MRI，扩散MRI，光谱等，通常需要大量的采集时间使用标准方法。

例如，Otazo等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 84" title="84" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11127">84]将CS方法应用于第一遍心脏灌注MRI，并证明了使用标准线圈阵列在体内成像8倍加速的可行性。他们表明，CS方法在2倍加速度下的时间保真度和图像质量与GRAPPA相似[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 84" title="84" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11130">84］．肖等人。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 100" title="One hundred." href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11133">One hundred.]应用联合并行成像和压缩传感技术，实现了儿童先心病MRI检查时心脏流量和心室容积的4D相位对比量化。文森特等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 101" title="101" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11136">101]采用CS评估左室功能和容积，发现单次屏气的CS策略与多次屏气成像协议的结果相似。

对于自由呼吸对比增强多相肝MRI, Chandarana等。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 102" title="102" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11142">102]表明，压缩感知、并行成像和径向k空间采样的组合证明了屏气笛卡儿T1加权成像的可行性。Espagnet等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 103" title="103" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11145">103]采用金角径向稀疏并行DCE-MRI技术评价垂体的通透性特征。

对于弥散性MRI, Landman等。[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 104" title="104" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11151">104]表明，使用标准数据的CS重建可以解决交叉光纤，类似于使用更丰富的数据和更长的采集时间的标准q球方法。Kuhnt等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 105" title="105" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11154">105结果表明，高角分辨率弥散成像(HARDI) + CS是一种很有前途的纤维束造影方法。

最后，对于光谱成像，Larson等人。<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 106" title="106" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11161">106]开发了一种CS方法，使用多波段激励脉冲获取超极化13C数据，并实现了2 s的时间分辨率，对小鼠的全体积覆盖。Geethanath等人[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 107" title="107" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11164">107]证明了使用CS的氢1磁共振光谱成像可将采集时间缩短80%或更多，而临床信息的损失可以忽略不计。

随着市售的CS重建方法，我们期待在不久的将来看到更多的CS临床应用。

结论

目前，压缩传感已经成为一项成熟的技术，最近FDA批准了压缩传感技术。主要供应商已经开始销售压缩感知重建软件，许多临床研究人员一直在评估其临床用途。

尽管压缩感知技术已经相当成熟，但其存在的主要技术问题有:1)算法的计算复杂度较高，且在高加速度下，图像质量仍有下降的报道。虽然目前最先进的CS技术如结构化汉克尔矩阵法可以解决质量退化问题，但它也增加了计算复杂度，可能会干扰临床工作流程。

幸运的是，在过去的两年中，由于基于深度学习的MR重建技术的成功展示，MR图像重建领域发生了迅速的变化[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="108" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR108" id="ref-link-section-d33194640e11184">108，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="109" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR109" id="ref-link-section-d33194640e11184_1">109，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="110" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR110" id="ref-link-section-d33194640e11184_2">110，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="111" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR111" id="ref-link-section-d33194640e11184_3">111，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" title="112" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/#ref-CR112" id="ref-link-section-d33194640e11184_4">112，<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 113" title="113" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11187">113］．深度学习方法的突然流行可以归因于实时重建，尽管图像质量有显著的改善。因此，当最初提出时，这些技术被视为完全不同的技术，与压缩感知无关。然而，最近的理论分析[<一个d一个t一个-track="click" data-track-action="reference anchor" data-track-label="link" data-test="citation-ref" aria-label="Reference 114" title="114" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/s42490-019-0006-z" id="ref-link-section-d33194640e11190">114]表明深度卷积神经网络与汉克尔矩阵分解密切相关。因此，我们仍然可以认为，压缩感知MRI以深度学习的形式重新引起了人们的兴趣，看看这个令人兴奋和快速发展的领域在未来几十年将如何发展将是很有趣的。

缩写

阿罗哈:: 基于消去滤波的低秩汉克尔矩阵方法
CS:: 压缩传感
重点:: 焦距欠定系统求解器
格拉巴酒:: 广义自校正部分并行获取
l1-SPiRIT:: l1迭代自洽并行成像重建
LORAKS:: 局部空间邻域的低秩建模
核磁共振成像:: 磁共振成像
为了:: 同时自动校准和k空间估计
意义:: 敏感性编码

参考文献

Pruessmann KP, Weigher M, Scheidegger MB, Boesiger P. SENSE:快速磁共振成像的灵敏度编码。粉剂。的原因。医学。1999;42(5):952 - 62。
文章谷歌学者
Sodickson DK, Manning WJ。空间谐波同步采集(SMASH):用射频线圈阵列快速成像。中华医学杂志1997;38(4):591-603。
文章谷歌学者
Griswold MA, Jakob PM, Heidemann RM, Nittka M, Jellus V, Wang J, Kiefer B, Haase A.广义自动校准部分并行获取(GRAPPA)。粉剂。的原因。医学。2002;47(6):1202 - 10。
文章谷歌学者
Madore B, Glover GH, Pelc NJ。利用时间维度(展开)对重叠部分进行傅立叶编码解混，应用于心脏成像和功能磁共振成像。粉剂。的原因。42医学。1999;(5):813 - 28。
文章谷歌学者
曹志军，张志强，张志强。k-t BLAST和k-t SENSE:利用时空相关性的高帧率动态MRI。中华医学杂志2003;50(5):1031-42。
文章谷歌学者
郭泽克，曹杰，张志伟，等。k-t BLAST加速心脏电影三维成像。粉剂。的原因。医学。2004;52:19-26。
文章谷歌学者
Sharif B, Derbyshire JA, Faranesh AZ, Bresler Y.动态成像中灵敏度编码的患者自适应重建与获取(天堂)。中华医学杂志2010;64(2):501-13。
谷歌学者
曹娇，柯泽克，波西格，普鲁士曼。优化k-t BLAST和k-t SENSE的时空采样:在高分辨率实时心脏稳态自由进动中的应用。粉剂。的原因。医学。2005;53:1372 - 82。
文章谷歌学者
Hansen MS, Kozerke S, Pruessman KP, Boesiger P, Pedersen EM, Tsao J. k-t BLAST重建中训练数据质量的影响。粉剂。的原因。医学。2004;52:1175 - 83。
文章谷歌学者
布雷斯勒，加斯帕尔，M.，文卡塔拉马尼，R.:傅立叶成像系统中使用通用采样的动态图像压缩。1999年IEEE信息理论研讨会:检测、估计、分类和成像，第48页(1999)
Ye, j.c.， Bresler, Y.， Moulin, P.:稀疏傅立叶样本图像重建的自参考水平集方法。在加拿大温哥华的IEEE计算机视觉变分和水平集方法研讨会上发表(2001)
王晓燕，王晓燕，王晓燕，等。鲁棒不确定原理:高不完全频率信息的精确信号重构。IEEE反式。正无穷。理论。2006;52(2):489 - 509。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
Donoho DL。压缩传感。IEEE反式。正无穷。理论。2006;52(4):1289 - 306。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
李志强，李志强，李志强。稀疏磁共振:压缩感知在快速磁共振成像中的应用。中华医学杂志2007;58(6):1182-95。
文章谷歌学者
拉斯蒂格M，多诺霍DL，桑托斯JM，保利JM。压缩传感MRI。IEEE信号处理杂志2008;25(2):72-82。
文章谷歌学者
李志强，李志强，李志强。不完全和不准确测量的稳定信号恢复。应用数学学报。2006;59(8):1207-23。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
王晓东，王晓东。基于线性规划的译码方法。IEEE反式。信息。理论。2005年,51(12):4203 - 15所示。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
郑浩，叶宗昌，金永荣。改进了k-t爆炸和使用焦点的k-t感觉。理论物理。医学杂志。2007;52:3201-26。
文章谷歌学者
叶宗昌，德硕，韩燕，朴华伟。使用focus的投影重建磁共振成像。中华医学杂志2007;57(4):764-75。
文章谷歌学者
郑浩，成凯，纳亚克，金永荣，叶锦昌。k-t聚焦:用于高分辨率动态MRI的通用压缩感知框架。中华医学杂志2009;61(1):103-16。
文章谷歌学者
陈光华，唐杰，冷山。先验图像约束压缩感知(PICCS):一种从高采样不足的投影数据集中精确重建动态CT图像的方法。出版社2008;地中海。35:660。
文章谷歌学者
基于匹配追踪的稀疏信道估计及其均衡应用。IEEE反式。Commun。2002;50:374-7。
文章谷歌学者
杨晓明，杨晓明，杨晓明。编码孔径快照光谱成像的单分散器设计。应用光学。2008;(10):47 44-51。
文章谷歌学者
Tropp农协。放松:在噪声中识别稀疏信号的凸规划方法。IEEE反式。正理论。2006;52(3):1030 - 51。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
基于聚焦的有限数据稀疏信号重建:一种重加权最小范数算法。电子学报，1997;45(3):600-16。
文章谷歌学者
Candes EJ, Wakin MB, Boyd SP.通过重加权增强稀疏性<我>l1最小化。傅里叶解析应用，2008;14(5):877-905。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
陈SS，多诺霍DL，桑德斯MA。原子的基分解。计算机科学学报1999;20(1):33-61。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
希尔伯特空间中的凸分析和单调算子理论。卷》408。纽约:施普林格;2011.
Combettes PL, Wajs VR，等。通过近端前后分裂恢复信号。多尺度模型仿真。2006;4(4):1168-200。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
L1正则化问题的分裂Bregman方法。中华医学影像科学杂志2009;2(2):323-43。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
王勇，杨军，尹伟，张勇。一种新的全变分图像重构的交替最小化算法。中华医学影像科学杂志2008;1(3):248-72。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
Combettes PL, Pesquet JC。非光滑凸变分信号恢复的Douglas-Rachford分裂方法。IEEE j .选取。上面。的迹象。过程。2007;1(4):564 - 74。
文章谷歌学者
Chambolle A, Pock T.凸问题的一阶原对偶算法及其在成像中的应用。j .数学。成像视野。2011;40(1):120 - 45。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
Ramani S, Fessler JA。增强拉格朗日方法并行MR图像重建。IEEE反式。医疗成像。2011;30(3):694 - 706。
文章谷歌学者
胡斌，王晓燕。快速螺旋冠状动脉显像。中华医学杂志1992;28(2):202-13。
文章谷歌学者
张晓燕，张晓燕，张晓燕，等。动态核磁共振成像中的压缩感知。中华医学杂志2008;59(2):365-73。
文章谷歌学者
Block KT, Uecker M, Frahm j。使用全变分约束的迭代图像重建。中华医学杂志2007;57(6):1086-98。
文章谷歌学者
梁东，刘斌，王杰，应磊。压缩感知加速传感。粉剂。的原因。医学。2009;62(6):1574 - 84。
文章谷歌学者
Feng L, Srichai MB, Lim RP, Harrison A, King W, Adluru G, Dibella EV, Sodickson DK, Otazo R, Kim D.基于k-t稀疏感的高速实时心脏电影MRI。中华医学杂志2013;70(1):64-74。
文章谷歌学者
勒斯蒂格M，保利JM。SPIRiT:任意k空间迭代自洽并行成像重建。中华医学杂志2010;64(2):457-71。
谷歌学者
张涛，李建明，张晓燕，张晓燕。基于螺旋压缩的笛卡尔采样加速成像方法。中华医学杂志2013;69(2):571-82。
文章谷歌学者
Feng L, Grimm R, Block KT, Chandarana H, Kim S, Xu J, Axel L, Sodickson DK, Otazo R.金角径向稀疏并行MRI:结合压缩感知、并行成像和金角径向采样快速灵活的动态体积MRI。中华医学杂志2014;72(3):707-17。
文章谷歌学者
王晓燕，王晓燕。快速螺旋冠状动脉显像。IEEE反式。医疗成像。2009;28(1):106 - 21所示。
文章谷歌学者
Trzasko JD, Haider CR, Borisch EA, Campeau NG, Glockner JF, Riederer SJ, Manduca A.稀疏- capr:具有并行成像和非凸压缩感知的高速4D CE-MRA。中华医学杂志2011;66(4):1019-32。
文章谷歌学者
Knoll F, Bredies K, Pock T, Stollberger R. MRI的二阶总广义变分(TGV)。中华医学杂志2011;65(2):480-91。
文章谷歌学者
Knoll F, Clason C, Bredies K, Uecker M, Stollberger R.基于变分惩罚的非线性重建并行成像。中华医学杂志2012;67(1):34-41。
文章谷歌学者
宋K，丹尼尔BL，哈格里夫斯BA。压缩感知MRI的位置约束近似消息传递。中华医学杂志2013;70(2):370-81。
文章谷歌学者
拉维尚卡尔，布雷斯勒，杨。字典学习在高欠采样k空间数据中的MR图像重建。IEEE反式。医疗成像。2011;30(5):1028 - 41。
文章谷歌学者
林加拉，胡勇，迪bella E, Jacob M.利用稀疏性和低秩结构的加速动态MRI: kt SLR。IEEE反式。医疗成像。2011;30(5):1042 - 54。
文章谷歌学者
张晓东，张晓东，张晓东，等。运动自适应时空正则化在加速动态MRI中的应用。Magn Reson医学，2012;7:8 - 12。
谷歌学者
Ak Cakaya M, Basha TA, Goddu B, Goepfert LA, Kissinger KV, Tarokh V, Manning WJ, Nezafat R.低维结构自学习和阈值:压缩感知之外的正则化MRI重建。中华医学杂志2011;66(3):756-67。
文章谷歌学者
使用CLEAR的无校准并行MRI。第45届信号、系统和计算机Asilomar会议记录(Asilomar);2011.75 - 9页。
章谷歌学者
尹浩，金克斯，金D，布瑞斯勒Y，叶锦昌。基于运动自适应patch的压缩感知心脏电影MRI低秩方法。IEEE反式。医疗成像。2014;33(11):2069 - 85。
文章谷歌学者
王晓东，王晓东。基于凸优化的精确矩阵补全。发现。第一版。数学。2009;9(6):717 - 72。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
Shin PJ, Larson PE, Ohliger MA, Elad M, Pauly JM, Vigneron DB, Lustig M.基于结构化低秩矩阵补全的无标定并行成像重建。中华医学杂志2014;72(4):959-70。
文章谷歌学者
Haldar JP。约束MRI局域空间邻域(LORAKS)的低秩建模。IEEE反式。医疗成像。2014;33(3):668 - 81。
文章谷歌学者
金浩，李丹，叶锦江。基于湮没滤波器的低秩汉克尔矩阵压缩感知和并行MRI的一般框架。计算机工程学报，2016;29(4):381 - 381。
文章 MathSciNet 谷歌学者
陈浩，严金玉，李丹，李俊，朴世华，叶锦江。基于湮灭滤波的汉克尔矩阵稀疏+低秩分解的MRI伪影校正。磁共振医学2017;78(1):327-40。
文章谷歌学者
李丹，靳浩，金永荣，朴世华，叶锦江。基于湮灭滤波的低秩汉克尔矩阵(ALOHA)加速MR参数映射。中华医学杂志2016;76(6):1848-68。
文章谷歌学者
李俊，金浩，叶锦江。基于湮灭滤波的低秩汉克尔矩阵(ALOHA)的无参考单通EPI Nyquist鬼影校正。中华医学杂志2016;76(8):1775-89。
文章谷歌学者
傅立叶样本中分段常数图像的网格外恢复。SIAM影像科学2016;9(3):1004-41。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
叶建昌，金建明，金浩，李凯。基于湮灭滤波的低秩插值压缩采样。电子学报，2017;36(2):381 - 381。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
张志强，张志强，张志强，等。基于grappa的并行成像重建和采集参数对图像质量的影响。中华医学杂志2011;66(2):402-9。
文章谷歌学者
黄峰，林伟，杜恩兴，李晓峰。一种基于多通道的高效多通道重构方法。中华医学杂志2012;67(3):835-43。
文章谷歌学者
Trzasko JD, Bao Z, Manduca A, McGee KP, Bernstein MA。稀疏性和低对比度的物体可检测性。中华医学杂志2012;67(4):1022-32。
文章谷歌学者
Johnson KM, Block WF, Reeder SB, Samsonov A.使用k空间数据一致性估计改进的最小二乘MR图像重建。中华医学杂志2012;67(6):1600-8。
文章谷歌学者
Park S, Park J.自适应自校正迭代GRAPPA重建。中华医学杂志2012;67(6):1721-9。
文章谷歌学者
梁东，DiBella EV，陈仁荣，应磊。k-t ISD:基于迭代支持检测的压缩感知动态心脏MR成像。中华医学杂志2012;68(1):41-53。
文章谷歌学者
常勇，梁东，应林。非线性GRAPPA:一种并行MRI重建的核方法。中华医学杂志2012;68(3):730-40。
文章谷歌学者
黄峰，林伟，Duensing GR, Reykowski A. k-t稀疏GROWL:基于柔性虚拟线圈的k-t空间部分并行成像和压缩感知的顺序组合。中华医学杂志2012;68(3):772-82。
文章谷歌学者
郑志强，陈晓燕，陈晓燕，等。利用k-t-GRAPPA加速时间分辨3D成像的欠采样策略。中华医学杂志2011;66(4):966-75。
文章谷歌学者
李晓燕，李晓燕，李晓燕。MRI中三维径向运动轨迹的自然构造方法。中华医学杂志2011;66(4):1049-56。
文章谷歌学者
林伟，黄芳，张晓东，张晓东。变密度螺旋核磁共振快速自校正并行重建中宽螺旋带的广义GRAPPA算子。中华医学杂志2011;66(4):1067-78。
文章谷歌学者
Pipe JG, Zwart NR, Aboussouan EA, Robison RK, Devaraj A, Johnson KO。三维正交过采样k空间轨迹的新设计与原理。中华医学杂志2011;66(5):1303-11。
文章谷歌学者
庞颖，Vigneron DB，张旭。平行行波MRI的可行性研究。中华医学杂志2012;67(4):965-78。
文章谷歌学者
王辉，梁东，王凯夫，Nagarsekar G，常勇，应磊。交叉采样自动校准数据改进GRAPPA。中华医学杂志2012;67(4):1042-53。
文章谷歌学者
Witschey WR, Cocosco CA, Gallichan D, Schultz G, Weber H, Welz A, Hennig J, Zaitsev M.非线性相位制备和k空间弹道设计的定位方法。中华医学杂志2012;67(6):1620-32。
文章谷歌学者
艾迪NO，吴宏，西村DG。MR梯度系统表征和k空间轨迹估计的简单方法。中华医学杂志2012;68(1):120-9。
文章谷歌学者
Zahneisen, B.， Hugger, T.， Lee, K.J.， LeVan, P.， Reisert, M.， Lee, h - l。，一个年代年代l¨ander, J., Zaitsev, M., Hennig, J.: Single shot concentric shells trajectories for ultra fast fMRI. Magn Reson Med 68(2), 484–494 (2012)
文章谷歌学者
Turley DC, Pipe JG。分布螺旋:一类新的三维k空间轨迹。中华医学杂志2013;70(2):413-9。
文章谷歌学者
Layton KJ, Gallichan D, Testud F, Cocosco CA, Welz AM, Barmet C, Pruessmann KP, Hennig J, Zaitsev M.基于线性和非线性磁编码场的区域特异性成像单次弹道设计。中华医学杂志2013;70(3):684-96。
文章谷歌学者
哈达尔JP，赫尔南多D，梁志平。随机编码压缩感知MRI。中华医学杂志。2011;30(4):893-903。
文章谷歌学者
Puy G, Marques JP, Gruetter R, Thiran J-P, Ville DVD, Vandergheynst P, Wiaux Y.扩频磁共振成像。中国医学影像杂志，2012;31(3):586-98。
文章谷歌学者
Otazo R, Kim D, Axel L, Sodickson DK。压缩感知和并行成像在高加速第一遍心脏灌注MRI中的结合。中华医学杂志2010;64(3):767-76。
文章谷歌学者
Uecker M, Lai P, Murphy MJ, Virtue P, Elad M, Pauly JM, Vasanawala SS, Lustig M. espiri -一种自动校准并行MRI的特征值方法:SENSE与GRAPPA的结合。中华医学杂志2014;71(3):990-1001。
文章谷歌学者
Ravishankar S, Bresler Y.高效盲压缩感知的稀疏变换与收敛保证及其在磁共振成像中的应用。中华医学影像科学杂志2015;8(4):2519-57。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
阿哈龙，Elad M, Bruckstein A. K-SVD:用于稀疏表示的过完备字典设计算法。电子学报，2006;32(11):369 - 369。
文章数学谷歌学者
拉斯蒂格M，桑托斯JM，多诺霍DL，保利JM。kt SPARSE:利用时空稀疏性的高帧率动态MRI。见:第13届年会论文集，西雅图，第2420卷;2006.
谷歌学者
MPEG:多媒体应用的视频压缩标准。Commun ACM。34(4): 1991; 46-58。
文章谷歌学者
荣辉，叶锦江。运动估计和补偿压缩感知动态磁共振成像:我们可以从视频压缩技术中学到什么。国际影像系统技术，2010;20(2):81-98。
文章谷歌学者
哈尔达，J.P，梁，z . p。：年代p一个t我otemporal imaging with partially separable functions: a matrix recovery approach. In: IEEE International Symposium on Biomedical Imaging, pp. 716–719 (2010). IEEE
用幂因子分解法求解线性矩阵方程的秩约束解。电子学报，2009;16(7):584-7。
文章谷歌学者
赵斌，Haldar JP, Christodoulou AG，梁志平。具有联合部分可分性和稀疏性约束的高欠采样空间图像重建。中国医学影像杂志，2012;31(9):1809-20。
文章谷歌学者
蔡建峰，Cand’es EJ，沈铮。一种矩阵补全的奇异值阈值算法。中国机械工程学报。2010;20(4):1956-82。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
魏特利，马济里亚诺，布鲁特。具有有限创新率的采样信号。电子学报，2002;30(6):369 - 369。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
王晓燕，王晓燕，王晓燕。有限创新速率的采样矩与信号重构:Shannon与strange - fix的结合。电子学报。2007;38(5):381 - 381。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
噪声存在下有限创新率信号的采样与重构。清华大学学报(自然科学版)，2005;53(8):2788-805。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
孙强。高斯与稀疏随机过程的统一表述——第一部分:连续域理论。电子学报，2014;36(3):369 - 369。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
高斯与稀疏随机过程的统一表述——第二部分:离散域理论。电子学报，2014;36(5):369 - 369。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者
Hsiao A, Lustig M, Alley MT, Murphy M, Chan FP, Herfkens RJ, Vasanawala SS.利用压缩感知并行成像容量电影相位对比MRI快速评估儿童心脏流量和心室容积。中华放射化学杂志，2012;198(3):250-9。
文章谷歌学者
vincent G, Monney P, Chaptinel J, Rutz T, Coppo S, Zenge MO, Schmidt M, Nadar MS, Piccini D, Ch 'evre P，等。压缩感知单呼吸保持CMR用于快速定量左室功能、容积和质量。心血管影像学杂志。2014;7(9):882-92。
谷歌学者
Chandarana H, Feng L, Block TK, Rosenkrantz AB, Lim RP, Babb JS, Sodickson DK, Otazo R.采用压缩感知、并行成像和黄金角径向采样相结合的自由呼吸肝脏对比增强多相MRI。调查Radiol。2013年,48(1):10到16。
文章谷歌学者
Espagnet MR, Bangiyev L, Haber M, Block K, Babb J, Ruggiero V, Boada F, Gonen O, Fatterpekar G.垂体的高分辨率DCE-MRI采用径向K空间采集和压缩感知重建。中华神经放射杂志。2015;36(8):1444-9。
文章谷歌学者
Landman BA, Bogovic JA, Wan H, ElShahaby FEZ, Bazin P-L, Prince JL。基于弥散张量MRI的受限压缩感知交叉光纤分辨率。科学杂志。59 2012;(3): 2175 - 86。
文章谷歌学者
Kuhnt D, Bauer MH, Egger J, Richter M, Kapur T, Sommer J, Merhof D, Nimsky C.基于弥散张量成像的光纤束成像与压缩感知高角度分辨率弥散成像的比较:初步经验。神经外科。2013;72(0 1):165。
谷歌学者
Larson PE, Hu S, Lustig M, Kerr AB, Nelson SJ, Kurhanewicz J, Pauly JM, Vigneron DB。用于超极化13C研究的压缩感知和多波段激励脉冲快速动态3D MR光谱成像。中华医学杂志2011;65(3):610-9。
文章谷歌学者
Geethanath S, Baek H-M, Ganji SK, Ding Y, Maher EA, Sims RD, Choi C, Lewis MA, Kodibagkar VD。压缩感知在临床上可加速1H MR代谢成像。放射学。2012;262(3):985 - 94。
文章谷歌学者
Hammernik K, Klatzer T, Kobler E, Recht MP, Sodickson DK, Pock T, Knoll f学习变分网络重建加速MRI数据。中华医学杂志2018;79(6):3055-71。
文章谷歌学者
韩燕、刘杰、金浩杰、申浩杰、成凯、叶锦江。
文章谷歌学者
朱斌，刘建忠，Cauley SF, Rosen BR, Rosen MS.基于域变换流形学习的图像重建。大自然。2018;555(7697):487。
文章谷歌学者
张晓东，张晓东，张晓东。基于深度级联卷积神经网络的动态磁共振图像重建。2018;37(2): 491-503。
文章谷歌学者
见:生物医学成像(ISBI)， 2016 IEEE第十三届国际学术研讨会，pp. 514-517(2016)。IEEE
权凯，金D，朴华。一种基于多层感知器的并行MR成像方法。学报。2017;44(12):6209 - 24。
文章谷歌学者
叶景昌，韩勇，查恩。深度卷积框架:求解逆问题的一般深度学习框架。中华医学会影像科学杂志2018;11(2):991-1048。
文章 MathSciNet 数学谷歌学者

下载参考<年代vg width="16" height="16" focusable="false" role="img" aria-hidden="true" class="u-icon">

确认

作者要感谢他的学生Yoseob Han和Dongwook Lee提供的数据。作者还想感谢两位匿名审稿人，他们的评论显著提高了论文的质量。

资金

本研究得到韩国国家科学基金资助，资助号:NRF-2016R1A2B3008104。

数据和材料的可用性

数据共享不适用于本文，因为在当前的研究中没有生成或分析数据集。

作者信息

作者和联系

韩国科学技术院(KAIST)生物与大脑工程系，韩国大田大学路291号
郑大世Chul你们

作者

郑大世Chul你们

看来作者出版物

您也可以在中搜索这个作者<年代p一个ncl一个年代年代＝"c-article-identifiers">PubMed谷歌学者

贡献

作者已阅读并认可本文。

相应的作者

对应到<一个我d＝"corresp-c1" href="//www.mivven.com/bmcbiomedeng/articles/10.1186/mailto:jong.ye@kaist.ac.kr">郑大世Chul你们．

道德声明

伦理批准

不适用。

同意出版

不适用

相互竞争的利益

作者声明他没有竞争利益。

出版商的注意

伟德体育在线施普林格自然对出版的地图和机构附属的管辖权要求保持中立。

权利和权限

开放获取本文根据创作共用署名4.0国际许可协议发布(<一个href="http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" rel="license">http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/)，该协议允许在任何媒体上不受限制地使用、分发和复制，前提是您适当地注明原作者和来源，提供创作共用许可的链接，并说明是否有更改。创作共用公共领域奉献放弃书(<一个href="http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/" rel="license">http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/)除另有说明外，适用于本条提供的资料。

再版和权限

关于这篇文章

引用这篇文章

压缩感知MRI:从信号处理的角度综述。<我>BMC生物医学中18(2019)。https://doi.org/10.1186/s42490-019-0006-z

下载引用<年代vg width="16" height="16" focusable="false" role="img" aria-hidden="true" class="u-icon">

收到了<年代p一个ncl一个年代年代＝"u-hide">：2018年11月03
接受<年代p一个ncl一个年代年代＝"u-hide">：2019年2月04
发表<年代p一个ncl一个年代年代＝"u-hide">：2019年3月29日
DOI：https://doi.org/10.1186/s42490-019-0006-z

关键字

核磁共振;压缩传感;k-space